Critère de Cauchy :
Si \(f:[a,+\infty[\) est continue, alors \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) existe si et seulement si $${{\forall\varepsilon\gt 0,\exists M\geqslant a}},\quad\left( {{u,v\geqslant M}}\implies{{\left|f(u)-f(v)\right|\lt \varepsilon}}\right)$$
critère de Cauchy :
Une série \(\sum^{+\infty}_{k=0}u_k\) converge si et seulement si $$\begin{align}&{{\forall\varepsilon\gt 0,\exists n_0\in{\Bbb N},\forall m,n\geqslant n_0\quad\lvert u_n+\cdots+u_m\rvert\lt \varepsilon}}\\ &\iff{{\left|\sum^{m}_{k=n+1} u_k\right|\lt \varepsilon}}\end{align}$$
La convergence d'une série ne dépend pas des premiers termes de la série
Si la série \((S_n)\) de terme général \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) converge, alors $$u_n\longrightarrow0$$
(Série numérique)
Une série absolument convergente est convergente
(Série absolument convergente)
Critère de Cauchy :
Si \(f:[a,+\infty[\) est continue, alors l'intégrale impropre \(\int^{+\infty}_af(t)\,dt\) converge si et seulement si $${{\forall\varepsilon\gt 0,\exists M\geqslant a}},\quad\left( {{u,v\geqslant M}}\implies{{\left|\int^v_uf(t)\,dt\right|\lt \varepsilon}}\right)$$
Critère de Cauchy :
Une suite de fonctions \(f_n:X\to{\Bbb R}\) converge simplement sur \(X\) si et seulement si elle vérifie l'une de ces conditions :
- \(\forall x\in X\), la suite \((f_n(x))_{n\in\Bbb N}\) converge
- \(\forall x\in X\), la suite \((f_n(x))_{n\in\Bbb N}\) est de Cauchy
- $$\forall x\in X,\exists\varepsilon\gt 0,\exists N_{\varepsilon,n},\qquad q\geqslant p\geqslant N_{\varepsilon,n}\implies\lvert f_q(x)-f_p(x)\rvert\lt \varepsilon$$
(Convergence simple - Convergence point-par-point (suite de fonctions))
critère de Cauchy :
Une suite de fonctions \(f_n:X\to{\Bbb R}\) converge uniformément sur le domaine \(X\) si et seulement si elle vérifie la propriété suivante : $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N_\varepsilon,\qquad q\geqslant p\geqslant N_\varepsilon\implies \lvert f_q(x)-f_p(x)\rvert\lt \varepsilon\quad(\forall x\in X)$$
(Convergence uniforme (suite de fonctions))